itt.ka

   1 ------------------------------------------------------------
   2 -- Core ITT (minus W)
   3
   4 data Empty : * => { }
   5
   6 absurd [A : *] [x : Empty] : A => (
   7   Empty-Elim x (\_ => A)
   8 )
   9
  10 neg [A : *] : * => (A -> Empty)
  11
  12 record Unit : * => tt { }
  13
  14 record Prod : [A : *] [B : A -> *] -> * =>
  15   prod {fst : A, snd : B fst}
  16
  17 data Bool : * => { true : Bool | false : Bool }
  18
  19 -- The if_then_else_ is provided by Bool-Elim
  20
  21 -- A large eliminator, for convenience
  22 ITE [b : Bool] [A B : *] : * => (
  23   Bool-Elim b (\_ => *) A B
  24 )
  25
  26 ------------------------------------------------------------
  27 -- Examples →
  28
  29 data Nat : * => { zero : Nat | suc : Nat -> Nat }
  30
  31 gt [n : Nat] : Nat -> * => (
  32   Nat-Elim
  33     n
  34     (\_ => Nat -> *)
  35     (\_ => Empty)
  36     (\n f m => Nat-Elim m (\_ => *) Unit (\m' _ => f m'))
  37 )
  38
  39 data List : [A : *] -> * =>
  40   { nil : List A | cons : A -> List A -> List A }
  41
  42 length [A : *] [xs : List A] : Nat => (
  43     List-Elim xs (\_ => Nat) zero (\_ _ n => suc n)
  44 )
  45
  46 head [A : *] [xs : List A] : gt (length A xs) zero -> A => (
  47     List-Elim
  48       xs
  49       (\xs => gt (length A xs) zero -> A)
  50       (\p => absurd A p)
  51       (\x _ _ _ => x)
  52 )
  53
  54 ------------------------------------------------------------
  55 -- Examples ×
  56
  57 data Parity : * => { even : Parity | odd : Parity }
  58
  59 flip [p : Parity] : Parity => (
  60   Parity-Elim p (\_ => Parity) odd even
  61 )
  62
  63 parity [n : Nat] : Parity => (
  64   Nat-Elim n (\_ => Parity) even (\_ => flip)
  65 )
  66
  67 even [n : Nat] : * => (Parity-Elim (parity n) (\_ => *) Unit Empty)
  68
  69 one   : Nat => (suc zero)
  70 two   : Nat => (suc one)
  71 three : Nat => (suc two)
  72 four  : Nat => (suc three)
  73 five  : Nat => (suc four)
  74 six   : Nat => (suc five)
  75
  76 even-6 : even six => tt
  77
  78 even-5-neg : neg (even five) => (\z => z)
  79
  80 there-is-an-even-number : Prod Nat even => (prod six even-6)
  81
  82 Or [A B : *] : * => (Prod Bool (\b => ITE b A B))
  83
  84 left  [A B : *] [x : A] : Or A B => (prod true  x)
  85 right [A B : *] [x : B] : Or A B => (prod false x)
  86
  87 case [A B C : *] [f : A -> C] [g : B -> C] [x : Or A B] : C => (
  88   (Bool-Elim (fst x) (\b => ITE b A B -> C) f g) (snd x)
  89 )